Exercice 6, § 4

a) Soit $S$ un espace compact hyperstonien sans point isolé (Intégr., chap. V, § 5, exerc. 14). Soit $c_0(S)$ l’espace vectoriel des fonctions numériques, finies ou non, définies dans $S$, continues dans $S$ et telles que les ensembles $f(-\infty)$ et $f(+\infty)$ soient rares dans $S$ (Intégr., chap. II, § 1, exerc. 13 g)). Montrer que pour toute mesure $\mu > 0$ sur $S$, il existe des fonctions $f$ de $c_0(S)$ dont l’intégrale supérieure est infinie (remarquer que pour toute partie fermée rare $N$ de $S$, il existe une fonction de $c_0(S)$ égale à $+\infty$ dans $N$; montrer alors qu’on peut se borner à considérer le cas où la mesure $\mu$ est normale et définir $f$ convenablement comme borne supérieure d’une suite de fonctions de $c(S)$). b) Soit $G$ le sous-groupe ordonné de $c_0(S)$ formé des fonctions de $c_0(S)$ dont les valeurs sont dans $\mathbf{Z}$ ou $\pm \infty$. Montrer que $G$ est complètement réticulé et n’est isomorphe (en tant que groupe ordonné) à aucun sous-groupe d’un groupe produit $\mathbf{R}^l$. c) Soient $K$ un corps, $A_0 = K[[X_s]]_{s \in S}$ l’anneau des séries formelles à coefficients dans $K$, par rapport à la famille d’indéterminées $(X_s)$ ayant l’espace $S$ comme ensemble d’indices (Alg., chap. IV, § 5, exerc. 1). Soit $\mathfrak{b}$ l’ensemble des séries formelles $P \in A_0$ ayant la propriété suivante : il existe un ensemble rare $N \subset S$ tel que tout monôme de $P$ dont le coefficient est $\neq 0$ contienne un $X_s$ pour lequel $s \in N$. Montrer que $\mathfrak{b}$ est un idéal de $A_0$ et que l’anneau $A = A_0/\mathfrak{b}$ est intègre et complètement intégralement clos (pour prouver ce dernier point, appliquer le chap. V, § 1, no 4, prop. 14, en raisonnant comme dans le chap. V, § 1, exerc. 10; on utilisera aussi le fait que dans $S$ tout ensemble maigre est rare). d) Soit $f$ un élément $\geqslant 0$ du groupe $G$, et soit $N$ l’ensemble rare des points où $f(s) = \pm \infty$. Soit $p_f$ l’élément de $A$ image de la série formelle $\prod_{s \in N} (1 + X_s)^{f(s)}$; l’application $f \to p_f$ est un isomorphisme du monoïde additif $G_+$ sur un sous-monoïde multiplicatif de $A$. En déduire que $A$ ne peut être intersection d’une famille d’anneaux de valuation de hauteur 1 pour son corps des fractions (montrer que cela entraînerait que $G$ est isomorphe à un sous-groupe d’un produit $\mathbf{R}^1$). (Cf. exerc. 8 et 9).