习题 16, § 3

令$X$为均匀空间，并令$\Gamma$为$X$的均匀结构的所有*自同构*中的群。

a) 证明$\Gamma$上一致收敛的拓扑与其群结构兼容（使用习题12和15）。此外，$\Gamma$上的均匀性是由$X$重合中均匀收敛的均匀性与拓扑群$\Gamma$的*正确*均匀性引起的。

b) 如果 $X$ 是 $\mathbf{R}$ 的紧致区间 $[0, 1]$，则表明 a) 中定义的拓扑群 $\Gamma$ 不具有 $X$ 的同态 $(u_n)$ 的完备性 [构造序列，其一致收敛，但使得序列 $(u_n^{-1})$ 不一致收敛]。

c) 证明如果 $X$ 是完整的 Hausdorff 均匀性空间，则拓扑群 $\Gamma$ 就其*双面*均匀性而言是完整的（章 III, § 3，习题 6）。 [观察到，如果 $\Phi$ 是 $\Gamma$ 上关于此均匀性的柯西滤波器，则对于所有 $x \in X$，$\Phi(x)$ 和 $\Phi^{-1}(x)$ 收敛于 $X$。]