Exercice 16, § 3

Soient $X$ un espace uniforme, $\Gamma$ le groupe des automorphismes de la structure uniforme de $X$.

a) Montrer que sur $\Gamma$ la topologie de la convergence uniforme est compatible avec la structure de groupe (utiliser $X$, p. 49, exerc. 12 et $X$, p. 50, exerc. 15). En outre, la structure uniforme induite sur $\Gamma$ par la structure uniforme de la convergence uniforme dans $X$ est identique à la structure uniforme droite du groupe topologique $\Gamma$.

b) Lorsque $X$ est l’intervalle compact $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, montrer que le groupe topologique $\Gamma$ défini dans a) ne peut être complété (former une suite d’homéomorphismes $(u_n)$ de $X$, uniformément convergente mais telle que la suite $(u_n^{-1})$ ne soit pas uniformément convergente).

c) Montrer que si $X$ est un espace uniforme séparé et complet, la structure uniforme bilatère du groupe topologique $\Gamma$ (III, p. 73, exerc. 6) est une structure d’espace complet (remarquer que si $\Phi$ est un filtre de Cauchy sur $\Gamma$ pour cette structure, alors, pour tout $x \in X$, $\Phi(x)$ et $\Phi^{-1}(x)$ convergent dans $X$).