Bài tập 16, § 3

Cho $X$ là một không gian đều và cho $\Gamma$ là nhóm của tất cả các tự đẳng cấu của cấu trúc đều của $X$.

a) Hãy chứng minh rằng tôpô hội tụ đều trên $\Gamma$ là tương thích với cấu trúc nhóm của nó (sử dụng các Bài tập 12 và 15). Hơn nữa, cấu trúc đều cảm sinh trên $\Gamma$ bởi cấu trúc đều của hội tụ đều trong $X$ trùng với cấu trúc đều phải của nhóm tôpô $\Gamma$.

b) Nếu $X$ là khoảng compact $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$, hãy chứng minh rằng nhóm tôpô $\Gamma$ được xác định trong a) không có phần đầy đủ [xây dựng một dãy các tự đồng phôi $(u_n)$ của $X$ hội tụ đều nhưng sao cho dãy $(u_n^{-1})$ không hội tụ đều].

c) Hãy chứng minh rằng nếu $X$ là một không gian đều Hausdorff đầy đủ, thì nhóm tôpô $\Gamma$ là đầy đủ đối với cấu trúc đều hai phía của nó (Chương III, § 3, Bài tập 6). [Nhận xét rằng nếu $\Phi$ là một lọc Cauchy trên $\Gamma$ đối với cấu trúc đều này, thì $\Phi(x)$ và $\Phi^{-1}(x)$ hội tụ trong $X$ với mọi $x \in X$.]