习题 12, § 3

a) 令 $G'$ 为完整的 Hausdorff 群；设$G_0$是$G'$的稠密子群，与$G'$不同；令 G 为通过给 $G_0$ 离散拓扑获得的拓扑群。 恒等映射 $G \to G_0$ 是双射连续同态，但其连续扩张 $\hat{G} \to \hat{G}_0$ 不是满射。

\* b) 设G为群$\mathbf{Q}^2$，$\theta$无理数数，将G的连续同态$(x, y) \to x + \theta y$化为$\mathbf{R}$，并设$G' = u(G)$。那么 $u : G \to G'$ 是双射的，但它的连续扩张 $\hat{G} \to \hat{G}'$ 不是单射的。

c) 来自 Hausdorff 交换律群的双射连续同态 $G \to G'$ 的 a) 和 b) 构造例，其连续扩张 $\hat{G} \to \hat{G}'$ 既不是单射也不是满射 *。