Bài tập 12, § 3

(a) Cho $G'$ là một nhóm Hausdorff đầy đủ; cho $G_0$ là một nhóm con trù mật của $G'$, phân biệt với $G'$; và cho G là nhóm tôpô thu được bằng cách trang bị cho $G_0$ tôpô rời rạc. Ánh xạ đồng nhất $G \to G_0$ khi đó là một đồng cấu liên tục song ánh, nhưng mở rộng liên tục của nó $\hat{G} \to \hat{G}_0$ không toàn ánh.

\* (b) Cho G là nhóm $\mathbf{Q}^2$, $\theta$ là một số vô tỉ, u là đồng cấu liên tục $(x, y) \to x + \theta y$ của G vào $\mathbf{R}$, và cho $G' = u(G)$. Khi đó $u : G \to G'$ là song ánh, nhưng mở rộng liên tục của nó $\hat{G} \to \hat{G}'$ không đơn ánh.

(c) Từ a) và b) hãy xây dựng một ví dụ về một đồng cấu liên tục song ánh $G \to G'$ của các nhóm Hausdorff giao hoán mà mở rộng liên tục $\hat{G} \to \hat{G}'$ của nó không đơn ánh cũng không toàn ánh *.