Exercice 12, § 3

a) Soient G’ un groupe séparé et complet, G_0 un sous-groupe partout dense de G’ et distinct de G’, G le groupe topologique obtenu en munissant G_0 de la topologie discrète.

L’application identique $G \to G_0$ est un homomorphisme continu bijectif, mais son prolongement continu $\hat{G} \to \hat{G}_0$ n’est pas surjectif.

*b) Soient $G$ le groupe $\mathbf{Q}^2$, $\theta$ un nombre irrationnel, $u$ l’homomorphisme continu $(x, y) \mapsto x + \theta y$ de $G$ dans $\mathbf{R}$, et soit $G' = u(G)$; $u : G \to G'$ est bijectif, mais son prolongement continu $\hat{G} \to \hat{G}'$ n’est pas injectif.

c) Déduire de b) et c) un exemple d’homomorphisme continu bijectif $G \to G'$ de groupes commutatifs séparés dont le prolongement continu $\hat{G} \to \hat{G}'$ n’est ni injectif ni surjectif.*