习题 9, § 3

环$A$到$\mathbf{R}_+$的映射$w$如果满足条件，则称为$A$上的半绝对值： (i) $w(0) = 0$; (ii) $w(x-y) \leq w(x) + w(y)$；

（三）$w(xy) \leq w(x)w(y)$。如果 $w(x) = 0$ 蕴含 $x = 0$，则半绝对值 $w$ 被称为 Hausdorff。如果$w$是$A$上的豪斯多夫半绝对值，则$w(x - y)$是$A$的加法群上的不变度量，因此定义拓扑与加法群兼容结构共 $A$。将范数代数（尤其是命题 13）的主要属性推广到赋予半绝对值的环。

如果$w$是$A$上的非豪斯多夫半绝对值，则集合$\overline{w}(0)$是$A$上的双面理想$a$；如果我们赋予$A$以伪度量$w(x - y)$定义的拓扑，那么这个拓扑与$A$的环结构兼容，并且与$A$相关的豪斯多夫空间是商环$A/a$，其中函数$\overline{w}(\bar{x})$，对于每个$\bar{x}$模$a$等于$w(x)$的公共的值对于所有$x \in \bar{x}$，是豪斯多夫半绝对值据说与“相关” $w$； $\overline{w}$定义的拓扑是$a$除以拓扑除以$A$的商。