Bài tập 9, § 3

Một ánh xạ $w$ của một vành $A$ vào $\mathbf{R}_+$ được gọi là một giá trị bán tuyệt đối trên $A$ nếu nó thỏa mãn các điều kiện : (i) $w(0) = 0$; (ii) $w(x-y) \leq w(x) + w(y)$;

(iii) $w(xy) \leq w(x)w(y)$. Giá trị bán tuyệt đối $w$ được gọi là Hausdorff nếu $w(x) = 0$ kéo theo $x = 0$. Nếu $w$ là một giá trị bán tuyệt đối Hausdorff trên $A$, thì $w(x - y)$ là một mêtric bất biến trên nhóm cộng của $A$, và do đó xác định một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $A$. Hãy tổng quát hóa các tính chất chính của các đại số chuẩn, đặc biệt là Mệnh đề 13, cho các vành được trang bị một giá trị bán tuyệt đối.

Nếu $w$ là một giá trị bán tuyệt đối không Hausdorff trên $A$, tập hợp $\overline{w}(0)$ là một iđêan hai phía $a$ trong $A$; nếu ta trang bị cho $A$ tôpô xác định bởi giả mêtric $w(x - y)$, tôpô này tương thích với cấu trúc vành của $A$, và không gian Hausdorff liên kết với $A$ là vành thương $A/a$, trên đó hàm $\overline{w}(\bar{x})$, hàm này đối với mỗi $\bar{x}$ mod $a$ bằng giá trị chung của $w(x)$ với mọi $x \in \bar{x}$, là một giá trị bán tuyệt đối Hausdorff được gọi là liên kết với $w$; tôpô xác định bởi $\overline{w}$ là thương theo $a$ của tôpô của $A$.

(9.10) a) Hai giá trị bán tuyệt đối $w_1, w_2$ trên một vành $A$ được gọi là tương đương nếu các giả mêtric $w_1(x - y), w_2(x - y)$ là tương đương. Chứng minh rằng, nếu $w$ là một giá trị bán tuyệt đối trên $A$, thì $aw$ và $w^{1/a}$ là các giá trị bán tuyệt đối tương đương với $w$ đối với mọi số thực $a \geq 1$.

b) Nếu $w_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các giá trị bán tuyệt đối trên một vành $A$, các hàm $w = \sum_i w_i$ và $w' = \sup_i w_i$ là hai giá trị bán tuyệt đối tương đương trên $A$. Nếu

thì $a = \bigcap_i a_i$. Nếu $A_i$ ký hiệu là sự hoàn thiện của vành thương $A/a_i$ được trang bị giá trị bán tuyệt đối Hausdorff liên kết với $w_i$, chứng minh rằng $A/a$ được trang bị giá trị bán tuyệt đối Hausdorff liên kết với $w$ là đẳng cấu với một vành con của vành tích $\prod_i A_i$; chứng minh rằng (giả sử rằng $A$ có một phần tử đơn vị 1) vành này trù mật trong $\prod_i A_i$ khi và chỉ khi các $w_i$ thỏa mãn điều kiện sau: với mỗi $\varepsilon > 0$ và với mỗi chỉ số $i$, có một phần tử $x_i \in A$ sao cho $w_i(1 - x_i) \leq \varepsilon$ và $w_k(x_i) \leq \varepsilon$ với mỗi chỉ số $k \neq i$.

11) Cho $A$ là một vành được trang bị một giá trị bán tuyệt đối Hausdorff, và giả sử rằng $A$ có một phần tử đơn vị và là đầy đủ đối với tôpô xác định bởi giá trị bán tuyệt đối. Chứng minh rằng mọi iđêan cực đại của $A$ đều đóng (sử dụng Mệnh đề 13).

(9.12) Cho $K$ là một vành chia tôpô Hausdorff không rời rạc, và cho $\varphi : K \to \mathbf{R}_+$ là một ánh xạ sao cho $\varphi(0) = 0, \varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ và sao cho nếu $V_n$ ký hiệu tập hợp tất cả các $x \in K$ sao cho $\varphi(x) \leq 1/n$, các tập hợp $V_n$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $0$ trong $K$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một số thực $a > 0$ sao cho, với mọi $x \in K$,

[nếu không, sẽ tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của $K$ sao cho cả $(1 + x_n)^{-1}$ và $x_n(1 + x_n)^{-1}$ đều tiến tới không]. Suy ra rằng nếu $\psi(x) = (\varphi(x))^{\alpha}$ thì ta có với $\alpha$ đủ nhỏ.

b) Chứng minh rằng nếu $n = 2^p$ thì ta có $\psi \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \leq n \sup (\psi(x_i))$, và suy ra rằng với mọi số nguyên $m > 0$ ta có $\psi(m) \leq 2m$.

c) Suy ra từ b) rằng với mọi $n = 2^p$ và mọi $x \in K$ ta có $\psi((1 + x)^{n-1}) \leq 2n(1 + \psi(x))^{n-1}$, và do đó $\psi$ là một giá trị tuyệt đối trên $K$ xác định tôpô của $K$.

§ 13) Cho $K$ là một vành chia tôpô Hausdorff không rời rạc. Cho $R$ là tập hợp tất cả các $x \in K$ sao cho $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$, và cho $N$ là phần bù của tập hợp $R \cup R^{-1}$. Chứng minh rằng tồn tại một giá trị tuyệt đối trên $K$ xác định tôpô của $K$ khi và chỉ khi (i) $R$ là mở trong $K$; (ii) với mỗi lân cận $V$ của $0$ trong $K$, tồn tại một lân cận $U$ của $0$ trong $K$ sao cho $R.U \subset V$; và (iii) nếu $x \in R$ và $y \in R \cup N$, thì $yx \in R$.

Để chứng minh rằng các điều kiện này là đủ, hãy chứng minh lần lượt rằng: a) $N$ là một nhóm con chuẩn của nhóm nhân $K^*$ của các phần tử khác không của $K$. b) Trong nhóm thương $K^*/N$, đặt $\dot{x} \leq \dot{y}$ nếu tồn tại $x \in \dot{x}$ và $y \in \dot{y}$ sao cho $yx^{-1} \in R \cup N$; chứng minh rằng quan hệ này là một quan hệ thứ tự tương thích với cấu trúc nhóm của $K^*/N$, và rằng nhóm có thứ tự được xác định như vậy là đẳng cấu với một nhóm con của nhóm cộng $\mathbf{R}$ (sử dụng Bài tập 1 của Chương V, § 3). c) Hoàn thành chứng minh với sự trợ giúp của Bài tập 12. Đặc biệt, tôpô của một trường tôpô compact địa phương không rời rạc có thể được xác định bởi một giá trị tuyệt đối.