Exercice 9, § 3

a) Sur un anneau A, on dit que deux semi-valeurs absolues $w_1, w_2$ sont équivalentes, si les écarts $w_1(x - y), w_2(x - y)$ sont équivalents. Montrer que, si $w$ est une semi-valeur absolue sur A, $aw$ et $w^{1/a}$ sont des semi-valeurs absolues équivalentes à $w$ pour tout nombre $a \geq 1$.

b) Si $w_i (1 \leq i \leq n)$ sont des semi-valeurs absolues sur un anneau A, les fonctions $w = \sum_i w_i$ et $w' = \sup_i w_i$ sont deux semi-valeurs absolues équivalentes sur A. Si $a_i = w_i^{-1}(0)$ et $a = w(0)$, on a $a = \bigcap_i a_i$. Si $A_i$ désigne le complété de l’anneau quotient $A/a_i$ muni de la semi-valeur absolue séparée associée à $w_i$, montrer que $A/a$, muni de la semi-valeur absolue séparée associée à $w$, est isomorphe à un sous-anneau de l’anneau produit $\prod_i A_i$; pour que ce sous-anneau soit partout dense dans $\prod_i A_i$, il faut et il suffit (en supposant que A possède un élément unité 1) que les semi-valeurs absolues $w_i$ satisfassent à la condition suivante: pour tout $\varepsilon > 0$, et pour chacun des indices $i$, il existe un élément $x \in A$ tel que $w_i(1 - x) \leq \varepsilon$ et $w_k(x) \leq \varepsilon$ pour tout indice $k \neq i$.