习题 6, § 1

a) 令$X$为拓扑空间，$Y$为均匀空间，并令$\Phi$为集合$\mathscr{C}(X; Y)$上的滤波器，逐点收敛到函数$u_0$。那么$u_0$在点$x_0 \in X$连续当且仅当对于$Y$的每个随行人员$V$和每个集合$M \in \Phi$，存在$x_0$和映射的邻域$U$ $u \in M$使得$(u_0(x), u(x)) \in V$对于所有$x \in U$。

b) 令$X$为准紧致空间，$Y$为均匀空间，$\Phi$为$\mathscr{C}(X; Y)$上的滤波器，逐点收敛到函数$u_0$。那么 $u_0$ 在 $X$ 上连续当且仅当，对于 $Y$ 的每个随行人员 $V$ 和每个集合 $M \in \Phi$，存在函数 $u_i \in M (1 \leq i \leq n)$ 的有限数，这样，对于每个$x \in X$，我们有$(u_0(x), u_i(x)) \in V$至少一个指标$i$。