Exercice 6, § 1

a) Soient $X$ un espace topologique, $Y$ un espace uniforme, $\Phi$ un filtre sur l’ensemble $C(X; Y)$ qui converge simplement vers une fonction $u_0$. Pour que $u_0$ soit continue en un point $x_0 \in X$, il faut et il suffit que, pour tout entourage $V$ de $Y$ et tout ensemble $M \in \Phi$, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ et un $u \in M$ tels que $(u_0(x), u(x)) \in V$ pour tout $x \in U$. b) Soient $X$ un espace quasi-compact, $Y$ un espace uniforme, $\Phi$ un filtre sur $C(X; Y)$, qui converge simplement vers une fonction $u_0$. Pour que $u_0$ soit continue dans $X$, il faut et il suffit que, pour tout entourage $V$ de $Y$, et tout ensemble $M \in \Phi$, il existe un nombre fini de fonctions $u_i \in M$ ($1 \leq i \leq n$) telles que, pour tout $x \in X$, il existe au moins un indice $i$ pour lequel $(u_0(x), u_i(x)) \in V$ (utiliser a)).