Bài tập 6, § 1

a) Cho $X$ là một không gian tôpô, $Y$ là một không gian đều, và cho $\Phi$ là một lọc trên tập hợp $\mathscr{C}(X; Y)$ hội tụ điểm tới một hàm $u_0$. Khi đó $u_0$ liên tục tại một điểm $x_0 \in X$ khi và chỉ khi, với mỗi lân cận $V$ của $Y$ và mỗi tập hợp $M \in \Phi$, tồn tại một lân cận $U$ của $x_0$ và một ánh xạ $u \in M$ sao cho $(u_0(x), u(x)) \in V$ với mọi $x \in U$.

b) Cho $X$ là một không gian quasi-compact, $Y$ là một không gian đều và $\Phi$ là một lọc trên $\mathscr{C}(X; Y)$ hội tụ điểm tới một hàm $u_0$. Khi đó $u_0$ liên tục trên $X$ khi và chỉ khi, với mỗi lân cận $V$ của $Y$ và mỗi tập hợp $M \in \Phi$, tồn tại một số hữu hạn hàm $u_i \in M (1 \leq i \leq n)$ sao cho, với mỗi $x \in X$, ta có $(u_0(x), u_i(x)) \in V$ với ít nhất một chỉ số $i$.