习题 13, § 9

将习题 13 的记号，赋予$\mathfrak{F}(X)$和$\mathfrak{K}(X)$以由拓扑$\mathfrak{T}_\Theta$在$\mathfrak{B}_0(X)$（§ 8，习题12）上诱发的拓扑。

a) 证明如果$X$是拟紧的，那么$\mathfrak{F}(X)$也是拟紧的。 （对于$X$中的每个开集合$U$，令$c(U)$[或$m(U)$]为$X$的所有闭子集$M$的集合，使得$M \subset U$（或$M \cap U \neq \varnothing$）； $c(U)$ 和 $m(U)$ 形式 $\mathfrak{T}_\Theta$ 的底数，然后使用习题 1)。

b) 假设$X$可访问，令$X'$为$X$的映射$x \mapsto \{x\}$下$X$的像进入$\mathfrak{F}(X)$。令$\mathfrak{H}$为$\mathfrak{F}(X)$的子空间，其中包含$X'$。证明如果 $\mathfrak{H}$ 是拟紧的，那么 $X$ 也是拟紧的。 [如果$(U_\alpha)$是$X$的开覆盖，注，如果$\mathfrak{B}_\alpha$表示所有$M \in \mathfrak{F}(X)$的集合使得$M \cap U_\alpha \neq \varnothing$，那么$\{ \mathfrak{B}_\alpha \}$是$\mathfrak{F}(X)$的开覆盖]。

c) 证明如果 $X$ 是局部紧致的，则 $\mathfrak{K}(X)$ 在 $\mathfrak{F}(X)$ 中开（应用命题 10 of § 7）。

d) 假设 $X$ 是可访问的。证明 $\mathfrak{K}(X)$ 是豪斯多夫（分别是正则、紧致、局部紧致）当且仅当 $X$ 是。 [对于前两个断言，使用§ 8的习题 12和§ 9的习题 3；对于最后两个断言，使用 a) 和 b) 以及习题 12]。