Exercice 13, § 9

Soient X un espace topologique, $\mathfrak{F}(X)$ l’ensemble des parties fermées non vides de X, $\mathscr{R}(X)$ l’ensemble des parties quasi-compactes non vides de X; on munit ces ensembles de la topologie induite par la topologie $\mathscr{T}_\Omega$ sur $\mathfrak{P}_0(X)$ (I, p. 91, exerc. 7).

a) Montrer que si $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{F}(X)$ est quasi-compact pour $\mathscr{T}_\Omega$ et si X est régulier, la réunion dans X des ensembles $M \in \mathfrak{B}$ est fermée.

b) Montrer que si $\mathfrak{B} \subset \mathscr{R}(X)$ est quasi-compact pour $\mathscr{T}_\Omega$, la réunion dans X des ensembles $M \in \mathfrak{B}$ est quasi-compacte.