习题 26, § 6

a) Let $p, q$ be two distinct prime numbers and let $\mathfrak{T}$ be the topology on $\mathbf{Q}$ which is the least upper bound of the topologies $\mathfrak{T}_p$ and $\mathfrak{T}_q$. 那么$\mathfrak{T}$局部有界[习题 20 c)]并且与$\mathbf{Q}$的域结构兼容。 对于这个拓扑，两个序列、$((p/q)^n)_{n \geq 0}$、$((q/p)^n)_{n \geq 0}$都没有边界； 序列 $(1/p^n)_{n \geq 0}$ 无界，但序列 $(p^n)_{n \geq 0}$ 有界，不趋于 0 [cf. 习题 22 d)]。 证明$\mathbf{Q}$相对于拓扑$\mathfrak{T}$的完备性与拓扑域$\mathbf{Q}_p$和$\mathbf{Q}_q$的乘积同构。

b) 如果$P$是所有素数数中的集合，则$p \in P$的拓扑$\mathfrak{T}_p$中最小的上界$\mathfrak{T}_0$与$\mathbf{Q}$的域结构兼容，但不是局部有界的[习题 20 c)]。 $\mathbf{Q}$相对于拓扑$\mathfrak{T}_0$的补全是多少？