Exercice 26, § 6

a) Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts; la topologie $\mathscr{T}$ sur $\mathbf{Q}$, borne supérieure de $\mathscr{T}_p$ et de $\mathscr{T}_q$, est localement bornée (III, p. 82, exerc. 20 c)) et compatible avec la structure de corps de $\mathbf{Q}$. Pour cette topologie, aucune des deux suites $((p/q)^n)_{n \geq 0}, ((q/p)^n)_{n \geq 0}$ n’est bornée; la suite $(1/p^n)_{n \geq 0}$ est non bornée, mais la suite $(p^n)_{n \geq 0}$, qui est bornée, ne tend pas vers 0 (cf. III, p. 83, exerc. 22 d)). Montrer que le complété de $\mathbf{Q}$ pour la topologie $\mathscr{T}$ est isomorphe au produit des corps topologiques $\mathbf{Q}_p$ et $\mathbf{Q}_q$.

b) Si $P$ est l’ensemble des nombres premiers, la borne supérieure $\mathscr{T}_0$ des topologies $\mathscr{T}_p$, pour $p \in P$, est compatible avec la structure de corps de $\mathbf{Q}$, mais n’est pas localement bornée (III, p. 82, exerc. 20 c)). Quel est le complété de $\mathbf{Q}$ pour la topologie $\mathscr{T}_0$?