Bài tập 26, § 6

(a) Cho $p, q$ là hai số nguyên tố phân biệt và cho $\mathfrak{T}$ là tôpô trên $\mathbf{Q}$ là cận trên bé nhất của các tôpô $\mathfrak{T}_p$ và $\mathfrak{T}_q$. Khi đó $\mathfrak{T}$ bị chặn địa phương [Bài tập 20 c)] và tương thích với cấu trúc trường của $\mathbf{Q}$. Đối với tôpô này, không dãy nào trong hai dãy $((p/q)^n)_{n \geq 0}$, $((q/p)^n)_{n \geq 0}$ bị chặn; dãy $(1/p^n)_{n \geq 0}$ không bị chặn, nhưng dãy $(p^n)_{n \geq 0}$, vốn bị chặn, không tiến tới 0 [xem Bài tập 22 d)]. Chứng minh rằng phép hoàn thiện của $\mathbf{Q}$ đối với tôpô $\mathfrak{T}$ là đẳng cấu với tích của các trường tôpô $\mathbf{Q}_p$ và $\mathbf{Q}_q$.

(b) Nếu $P$ là tập hợp tất cả các số nguyên tố thì cận trên bé nhất $\mathfrak{T}_0$ của các tôpô $\mathfrak{T}_p$ với $p \in P$ tương thích với cấu trúc trường của $\mathbf{Q}$ nhưng không bị chặn địa phương [Bài tập 20 c)]. Phép hoàn thiện của $\mathbf{Q}$ đối với tôpô $\mathfrak{T}_0$ là gì?