习题 11, § 4

a) 令$X$为完全正则空间，令$Y$为$X$的闭子空间； $C^\infty(X; \mathbf{R})$的映射$\varphi : u \to u|Y$到$C^\infty(Y; \mathbf{R})$是范数$\leq 1$的连续线性映射。如果$X$是正规的，$\varphi$是满射严格态射；如果$X_Y$表示对$Y$的所有点求空间与$X$的商（$X_Y$按章IX, § 4的习题 15归一化），则核 $\varphi$可以被识别为（作为规范的空间），$C^\infty(X_Y; \mathbf{R})$的子空间、函数的由……组成在$\omega$、$X_Y$中的$Y$的典范像消失。

b) 假设$X$是可度量的，并且$Y$在$X$中的边界是可数的型。证明 $\varphi : u \to u|Y$ 是一个严格的态射，它有一个右逆 (章 III, § 6, no. 2, 命题 3)。 [令$d$为与$X$的拓扑兼容的度量；令$(a_n)$为$Fr(Y)$的点序列，稠密于$Fr(Y)$，并且令$V_{n,m}$为点$x \in X$的集合，使得$d(x, a_n) < 1/m$和$d(x, Y) > 1/2m$； 构造一个连续映射 $f_{n,m} : X \to [0, 1]$ 的族，使得 $f_{n,m}$ 的支持包含在 $V_{n,m}$ 中，并且使得 $\sum_{n,m} f_{n,m}(x) = 1$ 对于所有 $x \in C Y$，族 $(f_{n,m})$ 可以统一地总结在每个邻域中点共 $C Y$。然后证明，对于每个$v \in C^\infty(Y; \mathbf{R})$，函数$u$，其中重合与$v$在$Y$上，并且对于所有$x \in C Y$属于到$C^\infty(X; \mathbf{R})$等于$\sum_{n,m} v(a_n) f_{n,m}(x)$并且是这样的$\varphi(u) = v$。] (*)