Exercice 11, § 4

a) Soient $X$ un espace complètement régulier, $Y$ un sous-espace fermé de $X$; l’application $\varphi : u \mapsto u|Y$ de $C^b(X; \mathbf{R})$ dans $C^b(Y; \mathbf{R})$ est une application linéaire continue de norme $\leq 1$. Si $X$ est normal, $\varphi$ est un morphisme strict surjectif; en outre, si $X_Y$ désigne l’espace quotient de $X$ obtenu en identifiant tous les points de $Y$ (espace qui est normal en vertu de IX, p. 105, exerc. 19), le noyau de $\varphi$ s’identifie (avec sa norme) au sous-espace de $C^b(X_Y; \mathbf{R})$ formé des fonctions qui s’annulent au point $\omega$, image canonique de $Y$ dans $X_Y$.

b) On suppose que $X$ est métrisable et que la frontière de $Y$ dans $X$ soit de type dénombrable. Monter que $\varphi : u \mapsto u|Y$ est un morphisme strict inversible à droite (III, p. 47, prop. 3). (Soit $d$ une distance compatible avec la topologie de $X$; soient $(a_n)$ une suite de points de $Fr(Y)$, dense dans $Fr(Y)$, et $V_{n,m}$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $d(x, a_n) < 1/m$ et $d(x, Y) > 1/2m$; former une famille d’applications continues $f_{n,m}$ de $X$ dans $(0, 1)$, telle que le support de $f_{n,m}$ soit contenu dans $V_{n,m}$ et que l’on ait $\sum_{n,m} f_{n,m}(x) = 1$ dans $\mathscr{C} Y$, la famille $(f_{n,m})$ étant uniformément sommable dans un voisinage convenable de tout point de $\mathscr{C} Y$. Montrer alors que pour toute fonction $v \in C^b(Y; \mathbf{R})$, la fonction $u$ égale à $v$ dans $Y$, à $\sum_{m,n} v(a_n) f_{n,m}(x)$ pour tout $x \in \mathscr{C} Y$, appartient à $C^b(X; \mathbf{R})$ et est telle que $\varphi(u) = v$.\footnote{Ce résultat ne s’étend pas au cas où $X$ est l’espace compact non métrisable $\beta N$, $Y$ l’ensemble fermé $\beta N - N$ (EVT, IV, § 5, exerc. 5 c))}