Bài tập 11, § 4

a) Cho $X$ là một không gian hoàn toàn chính quy và cho $Y$ là một không gian con đóng của $X$; ánh xạ $\varphi : u \to u|Y$ từ $C^\infty(X; \mathbf{R})$ vào $C^\infty(Y; \mathbf{R})$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục có chuẩn $\leq 1$. Nếu $X$ là chuẩn tắc, $\varphi$ là một cấu xạ ngặt toàn ánh; và nếu $X_Y$ ký hiệu không gian thương của $X$ thu được bằng cách đồng nhất tất cả các điểm của $Y$ ($X_Y$ là chuẩn tắc theo Bài tập 15 của Chương IX, § 4), thì hạt nhân của $\varphi$ có thể được đồng nhất (như một không gian định chuẩn) với không gian con của $C^\infty(X_Y; \mathbf{R})$ gồm các hàm triệt tiêu tại $\omega$, ảnh chính tắc của $Y$ trong $X_Y$.

b) Giả sử rằng $X$ là mêtric hóa được và rằng biên của $Y$ trong $X$ có kiểu đếm được. Chứng minh rằng $\varphi : u \to u|Y$ là một cấu xạ ngặt có nghịch đảo phải (Chương III, § 6, no. 2, Mệnh đề 3). [Cho $d$ là một mêtric tương thích với tôpô của $X$; cho $(a_n)$ là một dãy các điểm của $Fr(Y)$, trù mật trong $Fr(Y)$, và cho $V_{n,m}$ là tập hợp các điểm $x \in X$ sao cho $d(x, a_n) < 1/m$ và $d(x, Y) > 1/2m$; xây dựng một họ các ánh xạ liên tục $f_{n,m} : X \to [0, 1]$ sao cho giá của $f_{n,m}$ được chứa trong $V_{n,m}$ và sao cho $\sum_{n,m} f_{n,m}(x) = 1$ với mọi $x \in C Y$, họ $(f_{n,m})$ là tổng được đều trong một lân cận nào đó của mỗi điểm của $C Y$. Chứng minh khi đó rằng, với mọi $v \in C^\infty(Y; \mathbf{R})$, hàm $u$ trùng với $v$ trên $Y$ và bằng $\sum_{n,m} v(a_n) f_{n,m}(x)$ với mọi $x \in C Y$ thuộc về $C^\infty(X; \mathbf{R})$ và thỏa mãn $\varphi(u) = v$.] (*)