习题 6, § 7

令$(G_n, f_{nm})_{n \in \mathbf{N}}$为紧凑群的逆系，使得$G_n = T = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$对于每个$n$，并且$f_{nm}$是$T$自身的连续同态$x \to p^{m-n}x$，对于$n \leq m$（$p$是给定素数） 数）。拓扑群$T_p = \varprojlim G_n$称为$p$-adic螺线管；它是紧连通交换拓扑群。

a) 对于每个$n$，连续的同态$f_n : T_p \to G_n$是满射，其核同构于$p$-adic整数的群$\mathbf{Z}_p$[cf.习题1 a)]。

b) 设$\varphi$为典范同态$\mathbf{R} \to \mathbf{R}/\mathbf{Z} = \mathbf{T}$。对于每个$x \in \mathbf{R}$，放入$\theta(x) = (\varphi(x/p^n))_{n \in \mathbf{N}}$；证明$\theta$是$\mathbf{R}$到$\mathbf{T}_p$的单射连续同态，$\theta(\mathbf{R})$是$\mathbf{T}_p$的稠密子群。

c) 设$I$为$\mathbf{R}$中的开区间，其中中心$0$和长度$< 1$。证明 $\mathbf{T}_p$ 的子空间 $f_0^{-1}(\varphi(I))$ 同胚于乘积 $I \times \mathbf{Z}_p$。特别是，群$\mathbf{T}_p$不是本地连接的。

d) 证明$\mathbf{T}_p$的每个闭子群$H$（$\mathbf{T}_p$或$\{0\}$除外）完全不连通且同构于形式$\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$或$(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \times \mathbf{Z}_p$的群，其中$n$是整数与 $p$ 素的（应用命题 3 of no. 3）。

e) 证明 $\mathbf{T}_p$ 是不可分解紧连通空间，即 $\mathbf{T}_p$ 不能被两个紧连通集合 $P, Q$ 覆盖，且两者都不等于 $\mathbf{T}_p$。 （观察存在整数$n$使得$f_n(P) \neq G_n$和$f_n(Q) \neq G_n$，并检查集合$f_{n+1}(P)$和$f_{n+1}(Q)$以获得矛盾）。 \*