Exercice 6, § 7

Soit $(G_n, f_{nm})_{n \in \mathbf{N}}$ le système projectif de groupes compacts tel que $G_n = \mathbf{T} = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ pour tout $n$, et $f_{nm}$ est l’homomorphisme continu $x \mapsto p^{m-n}x$ de $\mathbf{T}$ sur lui-même, pour $n \leq m$, $p$ étant un nombre premier donné. Le groupe topologique $\mathbf{T}_p = \lim_{\leftarrow} G_n$ est appelé le solénoïde $p$-adique; c’est un groupe commutatif compact et connexe.

a) Pour tout $n$, l’homomorphisme continu $f_n: \mathbf{T}_p \to G_n$ est surjectif et son noyau est isomorphe au groupe $\mathbf{Z}_p$ des entiers $p$-adiques (cf. III, p. 85, exerc. 1 a)).

b) Soit $\varphi$ l’homomorphisme canonique $\mathbf{R} \to \mathbf{R}/\mathbf{Z} = \mathbf{T}$. Pour tout $x \in \mathbf{R}$, on pose $\theta(x) = (\varphi(x/p^n))_{n \in \mathbf{N}}$; montrer que $\theta$ est un homomorphisme continu injectif de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{T}_p$, et que $\theta(\mathbf{R})$ est un sous-groupe partout dense de $\mathbf{T}_p$.

c) Soit I un intervalle ouvert dans $\mathbf{R}$, de centre 0 et de longueur < 1 ; montrer que dans $T_p$, le sous-espace $f_0^{-1}(\varphi(I))$ est homéomorphe au produit $I \times \mathbf{Z}_p$. En particulier, le groupe $T_p$ n’est pas localement connexe. d) Montrer que tout sous-groupe fermé H de $T_p$ distinct de $T_p$ et de $\{0\}$, est totalement discontinu et isomorphe à un groupe de la forme $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ ou $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \times \mathbf{Z}_p$, où n est un entier premier à $p$ (utiliser la prop. 3 de III, p. 62). e) Montrer que $T_p$ est un espace compact connexe indécomposable, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de recouvrement de $T_p$ formé de deux ensembles compacts connexes P, Q distincts de $T_p$. (Observer qu’il existe un entier n tel que $f_n(P) \neq G_n$ et $f_n(Q) \neq G_n$, et examiner les ensembles $f_{n+1}(P)$ et $f_{n+1}(Q)$ pour obtenir une contradiction.)*