Bài tập 6, § 7

Cho $(G_n, f_{nm})_{n \in \mathbf{N}}$ là hệ xạ ảnh của các nhóm compact sao cho $G_n = \mathbf{T} = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ với mọi $n$, và $f_{nm}$ là đồng cấu liên tục $x \mapsto p^{m-n}x$ của $\mathbf{T}$ lên chính nó, với $n \leq m$, $p$ là một số nguyên tố cho trước. Nhóm tôpô $\mathbf{T}_p = \lim_{\leftarrow} G_n$ được gọi là solenoid $p$-adic; nó là một nhóm compact liên thông giao hoán.

a) Với mọi $n$, đồng cấu liên tục $f_n: \mathbf{T}_p \to G_n$ là toàn ánh và hạt nhân của nó đẳng cấu với nhóm $\mathbf{Z}_p$ các số nguyên $p$-adic (cf. III, p. 85, exerc. 1 a)).

b) Gọi $\varphi$ là đồng cấu chính tắc $\mathbf{R} \to \mathbf{R}/\mathbf{Z} = \mathbf{T}$. Với mọi $x \in \mathbf{R}$, đặt $\theta(x) = (\varphi(x/p^n))_{n \in \mathbf{N}}$; bây giờ chứng minh rằng $\theta$ là một đồng cấu đơn ánh liên tục từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{T}_p$, và rằng $\theta(\mathbf{R})$ là một nhóm con trù mật khắp nơi của $\mathbf{T}_p$.

c) Cho I là một khoảng mở trong $\mathbf{R}$, có tâm 0 và độ dài < 1 ; bây giờ chứng minh rằng trong $T_p$, không gian con $f_0^{-1}(\varphi(I))$ là đồng phôi với tích $I \times \mathbf{Z}_p$. Đặc biệt, nhóm $T_p$ không liên thông địa phương.

d) Bây giờ chứng minh rằng mọi nhóm con đóng H của $T_p$ phân biệt với $T_p$ và với $\{0\}$, đều hoàn toàn gián đoạn và đẳng cấu với một nhóm có dạng $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ hoặc $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \times \mathbf{Z}_p$, trong đó n là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $p$ (sử dụng mệnh đề 3 của III, p. 62).

e) Bây giờ chứng minh rằng $T_p$ là một không gian compact liên thông không phân tích được, nghĩa là không tồn tại một phủ của $T_p$ tạo bởi hai tập hợp compact liên thông P, Q phân biệt với $T_p$. (Nhận xét rằng tồn tại một số nguyên n sao cho $f_n(P) \neq G_n$ và $f_n(Q) \neq G_n$, và xét các tập hợp $f_{n+1}(P)$ và $f_{n+1}(Q)$ để thu được một mâu thuẫn.)*