习题 18, § 3

设$A$为局部环，最大理想为$m$；如果$M/mM$是有限秩的向量空间超过剩余类域$k = A/m$，则$A$模$M$称为准有限模。特别是，如果$A$是整环，则$A$的分数$K$的域是准有限$A$模。

(a) 证明如果 $A$ 是诺特并且 $M$ 是准有限 $A$ 模，则其相对于 $m$-adic 拓扑的 Hausdorff 补全 $\hat{M}$ 是有限生成的 $A$ 模（使用§2, no. 11，推出 2 至命题 14)。特别是，如果 $A$ 是完备的，并且 $M$ Hausdorff 具有 $m$-adic 拓扑，则 $M$ 是有限生成的 $A$-模。

(b) 令$B$为另一个局部环，$n$其最大理想，$\phi : A \to B$为局部同态，$M$为有限生成的$B$模块。证明，如果 $B$ 是诺特并且 $M$ 是准有限 $A$ 模，则 $M$ 上的 $m$-adic 和 $n$-adic 拓扑是相同的。 （注$M/mM$是有限长度的$B$模块，并推断，如果$b$是$B$模块$M/mM$的湮没子，则$V(b) = \{n\}$在$\operatorname{Spec}(B)$中，因此$V(mB + b) = \{n\}$。利用得出章II, §4, no. 3，推论2至命题11。）

(c) 在(b)的假设下，证明如果$M \neq 0$，$B/b$是准有限$A$模（注，$M \neq nM$和$M/nM$是有限秩在$k$上的向量空间；推论出$B/n$是有限秩超过$k$）。