Bài tập 18, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương với iđêan cực đại $m$; một $A$-môđun $M$ được gọi là gần hữu hạn nếu $M/mM$ là một không gian vectơ có hạng hữu hạn trên trường thặng dư $k = A/m$. Đặc biệt, nếu $A$ là một miền nguyên, trường các phân thức $K$ của $A$ là một $A$-môđun gần hữu hạn.

(a) Chứng minh rằng nếu $A$ là Noether và $M$ là một $A$-môđun gần hữu hạn, phần bù Hausdorff $\hat{M}$ của nó đối với tôpô $m$-adic là một $A$-môđun sinh hữu hạn (sử dụng §2, no. 11, Hệ quả 2 của Mệnh đề 14). Đặc biệt, nếu $A$ là đầy đủ và $M$ Hausdorff với tôpô $m$-adic, thì $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn.

(b) Cho $B$ là một vành địa phương khác, $n$ là iđêan cực đại của nó, $\phi : A \to B$ là một đồng cấu địa phương và $M$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng, nếu $B$ là Noether và $M$ là một $A$-môđun gần hữu hạn, thì các tôpô $m$-adic và $n$-adic trên $M$ là đồng nhất. (Chú ý rằng $M/mM$ là một $B$-môđun có độ dài hữu hạn và suy ra rằng, nếu $b$ là linh hóa tử của $B$-môđun $M/mM$, thì $V(b) = \{n\}$ trong $\operatorname{Spec}(B)$ và do đó $V(mB + b) = \{n\}$. Kết luận bằng cách sử dụng Chương II, §4, no. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 11.)

(c) Với các giả thiết của (b), chứng minh rằng, nếu $M \neq 0$, $B/b$ là một $A$-môđun gần hữu hạn (chú ý rằng $M \neq nM$ và $M/nM$ là một không gian vectơ có hạng hữu hạn trên $k$; suy ra rằng $B/n$ có hạng hữu hạn trên $k$).