Exercice 18, § 3

Soit A un anneau local, d’idéal maximal $m$; on dit qu’un A-module M est quasi-fini si $M/mM$ est un espace vectoriel de rang fini sur le corps résiduel $k = A/m$. En particulier, si A est intègre, le corps des fractions K de A est un A-module quasi-fini.

a) Montrer que si A est noethérien, et si M est un A-module quasi-fini, son séparé complété $\hat{M}$ pour la topologie $m$-adique est un $\hat{A}$-module de type fini (utiliser le § 2, no 11, cor. 2 de la prop. 14). En particulier, si $A$ est complet et $M$ séparé pour la topologie $m$-adique, $M$ est un $A$-module de type fini.

b) Soient $B$ un second anneau local, $\mathfrak{n}$ son idéal maximal, $\varphi : A \to B$ un homomorphisme local, $M$ un $B$-module de type fini. Montrer que si $B$ est noethérien, et si $M$ est un $A$-module quasi-fini, alors les topologies $m$-adique et $\mathfrak{n}$-adique sur $M$ sont identiques. (Remarquer que $M/mM$ est un $B$-module de longueur finie, et en déduire que si $b$ est l’annulateur du $B$-module $M/mM$, on a $V(b) = \{ \mathfrak{n} \}$ dans $\mathrm{Spec}(B)$, et par suite $V(mB + b) = \{ \mathfrak{n} \}$. Conclure à l’aide du chap. II, § 4, no 3, cor. 2 de la prop. 11.)

c) Sous les hypothèses de b), montrer que si $M \neq 0$, $B/b$ est un $A$-module quasi-fini (remarquer que l’on a $M \neq \mathfrak{n}M$, et $M/\mathfrak{n}M$ est un espace vectoriel de rang fini sur $k$; en déduire que $B/\mathfrak{n}$ est de rang fini sur $k$).