习题 24, § 2

在交换环 A 上，让 \mathscr{T}_m(A) 表示线性拓扑，其基数为邻域的系统为 0 乘积（等于交），最大理想的幂的有限数 (cf.) no. 13、命题 17)；如果 A 的理想 \neq 0 的每个有限交都是 \neq 0，则设 \mathscr{T}_u(A) 表示线性拓扑，其中 0 的邻域的基本系统由 A 的所有理想 \neq \{0\} 组成。

(a) 证明 \mathscr{T}_c(A) (习题 23) 比 \mathscr{T}_m(A) 更粗糙（观察到阿廷环的雅各布森根是幂零的）；给出例其中 \mathscr{T}_c(A) \neq \mathscr{T}_m(A) (cf. 习题 22 (c))。 \* 如果 A 是高度 1 的非离散估值 (章 VI) 的环，则 \mathscr{T}_c(A) = \mathscr{T}_m(A) 和 \mathscr{T}_u(A) \neq \mathscr{T}_m(A)。 \*

(b) 拓扑 \mathscr{T}_m(A) 是 A 上最粗糙的线性拓扑，在该线性条件下 A 的极大理想是封闭的，并且开理想的每个幂都是开理想（注在 A 上的线性拓扑下，最大理想 m 是封闭的，m 必然是开的）。

(c) 如果 A 为诺特环，则 \mathscr{T}_m(A) = \mathscr{T}_c(A) （观察到，如果 m 是 A 的最大理想，则对于每个整数 k \geq 1，A/m^k 为阿廷环，注意 m^h/m^{h+1} 是(A/m)-模数必然为有限长度)。给出诺特局部环 A 的例，其中 \mathscr{T}_m(A) \neq \mathscr{T}_u(A) （考虑多项式环的局部环超过域）。