Exercice 24, § 2

Sur un anneau commutatif $A$, on désigne par $\mathscr{C}_m(A)$ la topologie linéaire dont un système fondamental de voisinages de $0$ est formé des produits (égaux aux intersections) d’un nombre fini de puissances d’idéaux maximaux (cf. no 13, prop. 17); on désigne par $\mathscr{C}_u(A)$ la topologie linéaire dont un système fondamental de voisinages de $0$ est formé par tous les idéaux $\neq \{0\}$ de $A$.

a) Montrer que $\mathscr{C}_c(A)$ (exerc. 23) est moins fine que $\mathscr{C}_m(A)$ (observer que le radical d’un anneau artinien est nilpotent) ; donner un exemple où $\mathscr{C}_c(A) \neq \mathscr{C}_m(A)$ (cf. exerc. 22 c)). Si $A$ est un anneau de valuation non discrète de rang 1 (chap. VI), on a $\mathscr{C}_c(A) = \mathscr{C}_m(A)$ et $\mathscr{C}_u(A) \neq \mathscr{C}_m(A)$.

b) La topologie $\mathscr{C}_m(A)$ est la moins fine des topologies linéaires sur $A$ pour lesquelles les idéaux maximaux de $A$ sont fermés et toute puissance d’un idéal ouvert de $A$ est un idéal ouvert (noter que pour une topologie linéaire sur $A$ pour laquelle un idéal maximal $m$ est fermé, $m$ est nécessairement ouvert).

c) Si $A$ est un anneau noethérien, on a $\mathscr{C}_m(A) = \mathscr{C}_e(A)$ (observer que si $m$ est un idéal maximal de $A$, $A/m^k$ est un anneau artinien pour tout entier $k \geq 1$, en remarquant que $m^n/m^{n+1}$ est un $(A/m)$-module nécessairement de longueur finie). Donner un exemple d’anneau local noethérien $A$ pour lequel $\mathscr{C}_m(A) \neq \mathscr{C}_u(A)$ (considérer un anneau local d’un anneau de polynômes sur un corps).