Bài tập 24, § 2

Trên một vành giao hoán $A$, ký hiệu $\mathscr{C}_m(A)$ là tôpô tuyến tính mà trong đó một hệ cơ sở các lân cận của $0$ được tạo thành bởi các tích (bằng các giao) của một số hữu hạn các lũy thừa của các iđêan cực đại (xem No. 13, Mệnh đề 17); ký hiệu $\mathscr{C}_u(A)$ là tôpô tuyến tính mà trong đó một hệ cơ sở các lân cận của $0$ được tạo thành bởi tất cả các iđêan $\neq \{0\}$ của $A$.

a) Bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{C}_c(A)$ (Bài tập 23) ít mịn hơn $\mathscr{C}_m(A)$ (chú ý rằng căn của một vành Artin là lũy linh); cho một ví dụ trong đó $\mathscr{C}_c(A) \neq \mathscr{C}_m(A)$ (xem Bài tập 22 c)). Nếu $A$ là một vành định giá không rời rạc có hạng 1 (Chương VI), thì có $\mathscr{C}_c(A) = \mathscr{C}_m(A)$ và $\mathscr{C}_u(A) \neq \mathscr{C}_m(A)$.

b) Tôpô $\mathscr{C}_m(A)$ là tôpô ít mịn nhất trong các tôpô tuyến tính trên $A$ sao cho các iđêan cực đại của $A$ là đóng và mọi lũy thừa của một iđêan mở của $A$ là một iđêan mở (chú ý rằng đối với một tôpô tuyến tính trên $A$ mà một iđêan cực đại $m$ là đóng, thì $m$ nhất thiết là mở).

c) Nếu $A$ là một vành Noether, ta có $\mathscr{C}_m(A) = \mathscr{C}_e(A)$ (chú ý rằng nếu $m$ là một iđêan cực đại của $A$, thì $A/m^k$ là một vành Artin với mọi số nguyên $k \geq 1$, bằng cách nhận xét rằng $m^n/m^{n+1}$ nhất thiết là một môđun có độ dài hữu hạn trên $(A/m)$). Cho một ví dụ về một vành địa phương Noether $A$ sao cho $\mathscr{C}_m(A) \neq \mathscr{C}_u(A)$ (xét một vành địa phương của một vành đa thức trên một trường).