习题 8, § 2

如果局部环$A$的积分闭包是局部环，则称为单分支。 (a) 令$A$为局部整环，$K$为分数的域。对于$A$是单分支，$K$（有限生成的$A$模）的每个子$A$代数是局部环是必要且充分的。 (b) 证明，如果诺特局部环 $A$ 的完备性是整环，则$A$ 是单分支（如果$B$ 是$K$ 中包含的有限$A$-代数，则证明子环由$B$和$\hat{A}$生成的$\hat{A}$的分数的域与$B \otimes_A \hat{A}$同构的，利用$A$-模块$\hat{A}$的平坦性以及$B$包含在有限生成的自由中的事实$A$-包含在$K$中的模块；然后使用(a)和章III, § 2, no. 13，推论命题19)。