Bài tập 8, § 2

Một vành địa phương $A$ được gọi là unibranche nếu bao đóng nguyên của nó là một vành địa phương. (a) Cho $A$ là một miền nguyên địa phương và $K$ là trường phân thức của nó. Để $A$ là unibranche, điều kiện cần và đủ là mọi đại số con-$A$ của $K$ là một môđun $A$ sinh hữu hạn đều là một vành địa phương. (b) Chứng minh rằng, nếu bao hoàn thiện của một vành địa phương Noether $A$ là một miền nguyên, thì $A$ là unibranche (nếu $B$ là một đại số $A$ hữu hạn được chứa trong $K$, hãy chứng minh rằng vành con của trường phân thức của $\hat{A}$ sinh bởi $B$ và $\hat{A}$ đẳng cấu với $B \otimes_A \hat{A}$, bằng cách sử dụng tính phẳng của môđun $A$ $\hat{A}$ và sự kiện rằng $B$ được chứa trong một môđun $A$ tự do sinh hữu hạn được chứa trong $K$; sau đó sử dụng (a) và Chương III, § 2, no. 13, Hệ quả của Mệnh đề 19).