Exercice 8, § 2

On dit qu’un anneau local intègre $A$ est unibranché si sa clôture intégrale est un anneau local.

a) Soient $A$ un anneau local intègre, $K$ son corps des fractions. Pour que $A$ soit unibranché, il faut et il suffit que toute sous-$A$-algèbre de $K$ qui est un $A$-module de type fini, soit un anneau local.

b) Montrer que si le complété d’un anneau local noethérien $A$ est intègre, $A$ est unibranché (si $B$ est une $A$-algèbre finie contenue dans $K$, montrer que le sous-anneau du corps des fractions de $\hat{A}$ engendré par $B$ et $\hat{A}$ est isomorphe à $B \otimes_A \hat{A}$, en utilisant la platitude du $A$-module $\hat{A}$; puis utiliser a) et le chap. III, § 2, no 13, cor. de la prop. 19).