习题 5, § 2

令 $A$ 为经过过滤 $(a)_m$ 的过滤后的交换环，使得 $a_0 = A$。 (a) 对于由次数有界的元素族生成环$\operatorname{gr}(A)$，存在整数$q$是必要且充分的，使得对于所有$n$、$a_n = a_{n+1} + b_n$，其中$b_n$是和 $a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2} \ldots a_q^{\alpha_q}$ 对于整数 $\alpha_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq q$) 的所有系统，使得$\sum_{i=1}^q i \alpha_i = n$。然后 $a_n = a_{n+k} + b_n$ 代表所有 $k > 0$。

(b) 对于$\mathrm{gr}(A)$为诺特，$A/a_1$为诺特是必要且充分的，(a)的条件成立，并且对于$i \leq q$，$a_i/a_{i+1}$是有限生成的$(A/a_1)$模（使用推论4 定理 2 / no. 10)。

(c) 令$K$为两个不定$K[X, Y]$中的交换域和$A$多项式环。如果$m + n \leq p + q$或$m + n = p + q$和$m \leq p$，则在单项式$X^m Y^n$的集合上通过设定$X^m Y^n \leq X^p Y^q$定义全序。令$(M_k)$为$X, Y$中单项式的序列，从而按阶升序排列，并令$a_n$为由指标$k \geq n$的$M_k$生成的$A$的理想。证明(a)是与$A$上的环结构兼容的过滤；通过这种过滤，$\mathrm{gr}(A)$承认除子为0并且不是诺特，尽管$A$是诺特整环（使用（b）中的标准）；特别是，$\mathrm{gr}(a_1)$（由$A$在$a_1$上引起的过滤）不是有限生成的$\mathrm{gr}(A)$-模块，尽管$a_n$是有限生成的$A$-模块（cf.§ 1, no. 2，命题的推论） 1）。