习题 12, § 2

设 K 为任意无限不定族中的交换域，A 多项式环 $K[X_i]_{i \in I}$，m 为由 $X_i$ 生成的 A 的（极大）理想值。如果我们对命题 14 的 $i < j$ 满足条件集合 $A_i = A/m^{i+1}$、$A_i$ 和典范同态 $h_{ij} : A/m^{j+1} \to A/m^{i+1}$； 环$\lim \leftarrow A$，是$A$相对于拓扑的m进数拓扑和核的完成$\hat{A}$，典范同态$\hat{A} \to A$，等于$(m^t)^*$，$m^t$的闭包$A$。

(a) 表明 $\hat{A}$ 与 $X_n$ 中形式幂级数的环规范地一致，每个数都只有给定次数的项的有限数（代数，章） IV, § 5、习题 1)。

(b) 从现在开始取$I = \mathbf{N}$。显示 $m \neq \hat{A}.m$（考虑正式的幂级数 $\sum_{n=1}^\infty X_n^n$）。

(c) 假设$K$是有限域。显示$(\hat{m})^2 \neq (m^2)^*$。 （首先显示以下结果：对于每个整数$k > 0$，存在整数$n_k$，对于每个整数$n \geq n_k$，$n^2$中次数$n$的齐次多项式$F$不定， $K$ 中的系数，使得形式 $P_1 Q_1 + \ldots + P_k Q_k$ 的任何多项式中$F$、不能为和或项或次数 $n$，其中 $P_i$ 和 $Q_i$是在相同 $n^2$ 不定式中没有常数项的多项式）。

推断 $\hat{A}$ 对于 m-adic 拓扑来说是不完备的。