Bài tập 12, § 2

Cho K là một trường giao hoán, A là vành đa thức $K[X_i]_{i \in I}$ theo một họ vô hạn tùy ý các bất định và m là iđêan (cực đại) của A sinh bởi các $X_i$. Nếu đặt $A_i = A/m^{i+1}$, thì các $A_i$, và các đồng cấu chính tắc $h_{ij} : A/m^{j+1} \to A/m^{i+1}$ với $i < j$ thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 14; vành $\lim \leftarrow A$, là phần đầy đủ $\hat{A}$ của A đối với tôpô m-iđêan và hạt nhân của đồng cấu chính tắc $\hat{A} \to A$, bằng $(m^t)^*$, bao đóng của $m^t$ trong $A$.

(a) Chứng minh rằng $\hat{A}$ được đồng nhất một cách chính tắc với vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo các $X_n$, mỗi chuỗi trong đó chỉ có một số hữu hạn số hạng có bậc cho trước (Đại số, Chương IV, § 5, Bài tập 1).

(b) Từ nay lấy $I = \mathbf{N}$. Chứng minh rằng $m \neq \hat{A}.m$ (xét chuỗi lũy thừa hình thức $\sum_{n=1}^\infty X_n^n$).

(c) Giả sử rằng $K$ là một trường hữu hạn. Chứng minh rằng $(\hat{m})^2 \neq (m^2)^*$. (Trước hết chứng minh kết quả sau: với mọi số nguyên $k > 0$, tồn tại một số nguyên $n_k$ và với mọi số nguyên $n \geq n_k$ một đa thức thuần nhất $F$, có bậc $n$ theo $n^2$ bất định với các hệ số trong $K$ sao cho $F$, không thể là tổng của các số hạng có bậc $n$ trong bất kỳ đa thức nào có dạng $P_1 Q_1 + \ldots + P_k Q_k$, trong đó các $P_i$ và $Q_i$ là các đa thức không có số hạng hằng trong cùng các $n^2$ bất định).

Suy ra rằng $\hat{A}$ không đầy đủ đối với tôpô m-iđêan.