Exercice 12, § 2

Soient K un corps commutatif, A l’anneau $K[X_i]_{i \in I}$ des polynômes sur K en une famille infinie arbitraire d’indéterminées, m l’idéal (maximal) de A engendré par les $X_i$. Si l’on pose $A_i = A/m^{i+1}$, les $A_i$ et les homomorphismes canoniques $h_{ij} : A/m^{j+1} \to A/m^{i+1}$ pour $i \leqslant j$ vérifient les conditions de la prop. 14 ; l’anneau $\lim \leftarrow A_i$ est le complété $\widehat{A}$ de A pour la topologie $m$-adique, et le noyau de l’homomorphisme canonique $\widehat{A} \to A_i$ est égal à $(m^i)^{\widehat{}}$, adhérence de $m^i$ dans $\widehat{A}$.

a) Montrer que $\widehat{A}$ s’identifie canoniquement à l’anneau des séries formelles par rapport aux $X_i$, n’ayant chacune qu’un nombre fini de termes de degré donné (Alg., chap. IV, § 5, exerc. 1).

b) On prend désormais $I = \mathbf{N}$. Montrer que l’on a $\widehat{m} \neq \widehat{A}.m$ (considérer la série formelle $\sum_{n=1}^{\infty} X_n^n$).

c) On suppose que K est un corps fini. Montrer que $(\widehat{m})^2 \neq (m^2)^{\widehat{}}$. (On démontrera d’abord le résultat suivant : pour tout entier $k > 0$, il existe un entier $n_k$ et, pour tout entier $n \geqslant n_k$, un polynôme homogène $F_n$ de degré $n$ en $n^2$ indéterminées, à coefficients dans $K$, tel que $F_n$ ne puisse être la somme des termes de degré $n$ dans aucun polynôme de la forme $P_1 Q_1 + \cdots + P_k Q_k$, où les $P_i$ et $Q_i$ sont des polynômes sans terme constant par rapport aux mêmes $n^2$ indéterminées).

En déduire que $\hat{A}$ n’est pas complet pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique.