习题 27, § 3

令 $A$ 为环，$B$ 为可交换的 $A$ 代数，它是 Zariski 环，$N$ 为有限生成的 $B$ 模。

(a) 假设，对于包含在 $B$ 的雅各布森根中的理想$\mathfrak{g}$ $B$，$A$-模 $N/\mathfrak{g}^{n+1}N$ 对于 $n \geq 0$ 是平坦的。证明$N$是一个扁平的$A$模。 （如果$v : M \to M'$是*有限*生成的$A$模块的单同态，则有必要证明$u = v \otimes 1 : M \otimes_A N \to M' \otimes_A N$是单射的。约化它到证明，如果我们写$N_n = N/\mathfrak{g}^{n+1}N$和$u_n = v \otimes 1_{N_n}$，同态 $\lim u_n$ 是单射的，利用了 $M \otimes_A N$ 和 $M' \otimes_A N$ 上的 3-adic 拓扑是 Hausdorff 的事实。）

(b) 令 $b$ 为元素包含在 $B$ 的雅各布森根中，并且位似与 $N$ 上的比率 $b$ 是单射的。证明，如果 $N/bN$ 是平面 $A$ 模，则 $N$ 是平面 $A$ 模（约化对于 (a) 中的情况）。

(c) 进一步假设$A$是局部环，极大理想$m$和剩余类域$k = A/m$，并且$mB$包含在$B$的雅各布森根式中。令 $P$ 为 $B$ 模块，它是平面 $A$ 模块和 $u : N \to P$ 同态，使得 $u \otimes 1_k : N \otimes_A k \to P \otimes_A k$ 是单射的。然后证明 $N$ 是平面 $A$ 模，$u$ 是单射的。 （约化表明，对于每个有限生成的$A$-模$M$，同态$u \otimes 1_M : N \otimes_A M \to P \otimes_A M$是单射的；观察$N \otimes_A M$上的$m$-adic拓扑是Hausdorff；然后使用§ 2, no. 8，推论1 到定理 1，考虑交换律图表

并使用 P 的平坦度，垂直箭头为 § 2、习题 6 的典范同态。）