Bài tập 27, § 3

Cho $A$ là một vành, $B$ là một $A$-đại số giao hoán là một vành Zariski và $N$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn.

(a) Giả sử rằng, với một iđêan $\mathfrak{g}$ của $B$ được chứa trong căn Jacobson của $B$, các $A$-môđun $N/\mathfrak{g}^{n+1}N$ là phẳng với $n \geq 0$. Chứng minh rằng $N$ là một $A$-môđun phẳng. (Nếu $v : M \to M'$ là một đồng cấu đơn cấu của các $A$-môđun sinh hữu hạn, cần chứng minh rằng $u = v \otimes 1 : M \otimes_A N \to M' \otimes_A N$ là đơn ánh. Hãy rút gọn về việc chứng minh rằng, nếu ta viết $N_n = N/\mathfrak{g}^{n+1}N$ và $u_n = v \otimes 1_{N_n}$, thì đồng cấu $\lim u_n$ là đơn ánh, bằng cách sử dụng sự kiện rằng các tôpô 3-adic trên $M \otimes_A N$ và $M' \otimes_A N$ là Hausdorff.)

(b) Cho $b$ là một phần tử được chứa trong căn Jacobson của $B$ và sao cho phép vị tự với tỉ số $b$ trên $N$ là đơn ánh. Chứng minh rằng, nếu $N/bN$ là một $A$-môđun phẳng, thì $N$ là một $A$-môđun phẳng (rút gọn về trường hợp trong (a)).

(c) Giả sử thêm rằng $A$ là một vành địa phương với iđêan cực đại $m$ và trường thặng dư $k = A/m$ và rằng $mB$ được chứa trong căn Jacobson của $B$. Cho $P$ là một $B$-môđun là một $A$-môđun phẳng và $u : N \to P$ là một đồng cấu sao cho $u \otimes 1_k : N \otimes_A k \to P \otimes_A k$ là đơn ánh. Khi đó hãy chứng minh rằng $N$ là một $A$-môđun phẳng và rằng $u$ là đơn ánh. (Rút gọn về việc chỉ ra rằng, với mọi $A$-môđun sinh hữu hạn $M$, đồng cấu $u \otimes 1_M : N \otimes_A M \to P \otimes_A M$ là đơn ánh; nhận xét rằng tôpô $m$-adic trên $N \otimes_A M$ là Hausdorff; sau đó dùng § 2, no. 8, Hệ quả 1 của Định lý 1, xét biểu đồ giao hoán

và sử dụng tính phẳng của P, các mũi tên đứng là các đồng cấu chính tắc của § 2, Bài tập 6.)