Exercice 27, § 3

Soient A un anneau, B une A-algèbre commutative qui est un anneau de Zariski, N un B-module de type fini.

a) On suppose que, pour un idéal $\mathfrak{J}$ de B contenu dans le radical de B, les A-modules $N/\mathfrak{J}^{n+1}N$ soient plats pour tout $n \geqslant 0$. Montrer que N est un A-module plat. (Si $v : M \to M'$ est un homomorphisme injectif de A-modules de type fini, il faut prouver que $u : v \otimes 1 : M \otimes_A N \to M' \otimes_A N$ est injectif. Se ramener à prouver que, si l’on pose $N_n = N/\mathfrak{J}^{n+1}N$ et $u_n = v \otimes 1_{N_n}$, l’homomorphisme $\lim \leftarrow u_n$ est injectif, en utilisant le fait que les topologies $\mathfrak{J}$-adiques sur $M \otimes_A N$ et $M' \otimes_A N$ sont séparées.)

b) Soit b un élément contenu dans le radical de B et tel que l’homo-thétie de rapport b dans N soit injective. Montrer que si N/bN est un A-module plat, N est un A-module plat (se ramener au cas de a)).

c) On suppose en outre que A est un anneau local, d’idéal maximal m et de corps résiduel $k = A/m$, et que mB est contenu dans le radical de B. Soient P un B-module qui soit un A-module plat, $u : N \to P$ un homomorphisme tel que $u \otimes 1_k : N \otimes_A k \to P \otimes_A k$ soit injectif. Montrer alors que N est un A-module plat et que u est injectif. (Se ramener à montrer que pour tout A-module M de type fini, l’homomorphisme $u \otimes 1_M : N \otimes_A M \to P \otimes_A M$ est injectif ; observer que la topologie m-adique sur $N \otimes_A M$ est séparée ; utiliser alors le § 2, no 8, cor. 1 du th. 1, en considérant le diagramme commutatif

et utilisant la platitude de P, les flèches verticales étant les homomorphismes canoniques du § 2, exerc. 6.)