习题 7, § 4

(a) 令 A 为交换环，m 为 A 的一个理想，使得 A 为 Hausdorff，且完成 m 进数拓扑，且 $m/m^2$ 为有限生成A-模。证明$A' = A\{X_1, \ldots, X_r\}$上的拓扑是$m'$-adic 拓扑，其中$m' = mA'$和$m'/{m'}^2$是有限生成的$(A'/m')$-模（§ 2, no. 11的应用命题 14）。特别是，如果 A 是诺特，则 $A'$ 也是。

(b) 令 A 为交换律诺特环，且 m 为 A 的一个理想，使得 A 为 Hausdorff 并由 m 进数拓扑完成。令$u : A \to B$是从A到豪斯多夫交换拓扑环B的连续同态，使B成为A-代数。证明以下条件是等价的：

(α) B 是诺特，其拓扑是 mB-adic 拓扑，B 是完备的，$B/mB$ 是在 $A/m$ 上有限生成的代数。

(β) B 与 $\lim \leftarrow B_n$ 拓扑 A 同构的，其中 $(B_n)_{n \geq 1}$ 是离散 A-代数的逆系，使得 $m \geq n$ 的映射 $\phi_{nm} : B_n \to B_m$ 是满射，$\phi_{nm}$ 的核是$m^{n+1}B_m$ 和 B，是在 $A/m$ 上有限生成的代数。

(γ) B 在拓扑上与闭理想的代数与形式 $A\{X_1, \ldots, X_r\}$ 的商同构。

（证明（β）蕴含（γ），§ 2, no. 11的应用命题 14和§ 2, no. 8的定理 1。）