Exercice 7, § 4

a) Soient A un anneau commutatif, m un idéal de A tel que A soit séparé et complet pour la topologie m-adique et que $m/m^2$ soit un

A-module de type fini. Montrer que la topologie de $A' = A\{X_1, \ldots, X_r\}$ est la topologie $m'$-adique, où $m' = mA'$, et que $m'/{m'}^2$ est un $(A'/m')$-module de type fini (utiliser la prop. 14 du § 2, no 11). En particulier, si $A$ est noethérien, il en est de même de $A'$.

b) Soient $A$ un anneau commutatif noethérien, $m$ un idéal de $A$ tel que $A$ soit séparé et complet pour la topologie $m$-adique. Soit $u : A \to B$ un homomorphisme continu de $A$ dans un anneau topologique commutatif séparé $B$ faisant de $B$ une $A$-algèbre. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha)$ $B$ est noethérien, sa topologie est la topologie $mB$-adique, $B$ est complet et $B/mB$ est une algèbre de type fini sur $A/m$.

$\beta)$ $B$ est topologiquement $A$-isomorphe à $\lim_{\leftarrow} B_n$, où $(B_n)_{n \geq 1}$ est un système projectif de $A$-algèbres discrètes tel que les applications $\varphi_{nm} : B_m \to B_n$ pour $m \geq n$ soient surjectives, que le noyau de $\varphi_{nm}$ soit $m^{n+1}B_m$, et que $B_1$ soit une algèbre de type fini sur $A/m$.

$\gamma)$ $B$ est topologiquement $A$-isomorphe à un quotient d'une algèbre de la forme $A\{X_1, \ldots, X_r\}$ par un idéal fermé.

(Pour prouver que $\beta$) entraîne $\gamma)$, utiliser la prop. 14 du § 2, no 11 et le th. 1 du § 2, no 8.)