Bài tập 7, § 4

(a) Cho A là một vành giao hoán và m là một iđêan của A sao cho A là Hausdorff và đầy đủ với tôpô m-adic và $m/m^2$ là một A-môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng tôpô trên $A' = A\{X_1, \ldots, X_r\}$ là tôpô $m'$-adic, trong đó $m' = mA'$ và rằng $m'/{m'}^2$ là một $(A'/m')$-môđun sinh hữu hạn (sử dụng Mệnh đề 14 của § 2, no. 11). Đặc biệt, nếu A là Noether, thì $A'$ cũng là Noether.

(b) Cho A là một vành Noether giao hoán và m là một iđêan của A sao cho A là Hausdorff và đầy đủ với tôpô m-adic. Cho $u : A \to B$ là một đồng cấu liên tục từ A vào một vành tôpô giao hoán Hausdorff B biến B thành một đại số trên A. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(α) B là Noether, tôpô của nó là tôpô mB-adic, B là đầy đủ và $B/mB$ là một đại số sinh hữu hạn trên $A/m$.

(β) B là đẳng cấu tôpô A với $\lim \leftarrow B_n$ trong đó $(B_n)_{n \geq 1}$ là một hệ ngược các đại số rời rạc trên A sao cho các ánh xạ $\phi_{nm} : B_n \to B_m$ với $m \geq n$ là toàn ánh, hạt nhân của $\phi_{nm}$ là $m^{n+1}B_m$ và B, là một đại số sinh hữu hạn trên $A/m$.

(γ) B là đẳng cấu tôpô A với một thương của một đại số có dạng $A\{X_1, \ldots, X_r\}$ bởi một iđêan đóng.

(Để chứng minh rằng (β) kéo theo (γ), sử dụng Mệnh đề 14 của § 2, no. 11 và Định lý 1 của § 2, no. 8.)