习题 1, § 1

设$A$为型$\mathbf{Z}$的分级交换环，$(A_n)$为其毕业；我们集合$A^{\geq} = \bigoplus_{n \geq 0} A_n, \quad A^{\leq} = \bigoplus_{n \geq 0} A_n$；这些等级为子环或 $A$。

(a) 对于次数$d$的$A$的每个齐次元素$f$，分数$A_f$的环（相应的到子集由……组成的乘法） $f^n$，其中$n \geq 0$）具有规范分级环结构（代数、章 11、§ 11）；我们用$A$ $A_{(f)}$ 子环、次数元素由……组成 0 表示。表明，如果$d > 0$，则$(A''_f) = A_{(f)}$、$A_{(f)}$ 同构于 $A^{(d)}/(f - 1)A^{(d)}$ 并且$((A_f)^{\geq})_{/f/1}$ 是环与$A_{(f)}$ 的分级同构。

(b) 给多项式环$B = A[X] = A \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[X]$赋予$A$和$\mathbf{Z}[X]$上的毕业张量积，与$B$上的环结构兼容。证明，如果 $d > 0$，$B_{(f)}$ 与 $(A_n)^{\leq}$ 同构的，并且 $(A^{(d)})_f$ 是与 $A_{(f)} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[X, X^{-1}]$ 分级的环同构。

(c) 设$g$为另一个齐次元素/$A$/次数$e$。证明，如果$d > 0$和$e > 0$，$A_{(f,g)}$与$(A_{(f)})_{g^d/f^e}$同构的。

(d) 假设 $d > 0$ 和 $A_n = \{0\}$ 对应 $n < 0$。证明，如果 $A$ 是诺特，那么 $A_{(f)}$ 也是（使用 § 2, no. 10，推论 4 到定理 2）。 \*