Bài tập 1, § 1

Cho $A$ là một vành giao hoán phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$ và $(A_n)$ là phép phân bậc của nó; ta đặt $A^{\geq} = \bigoplus_{n \geq 0} A_n, \quad A^{\leq} = \bigoplus_{n \geq 0} A_n$; đây là các vành con phân bậc của $A$.

(a) Với mọi phần tử thuần nhất $f$ của $A$ có bậc $d$, vành phân thức $A_f$ (tương ứng với tập con nhân gồm các $f^n$, với $n \geq 0$) có một cấu trúc vành phân bậc chính tắc (Đại số, Chương 11, § 11); ta ký hiệu $A_{(f)}$ là vành con của $A$, gồm các phần tử có bậc 0. Chứng minh rằng, nếu $d > 0$, thì $(A''_f) = A_{(f)}$, $A_{(f)}$ đẳng cấu với $A^{(d)}/(f - 1)A^{(d)}$ và $((A_f)^{\geq})_{/f/1}$ là một vành phân bậc đẳng cấu với $A_{(f)}$.

(b) Cho vành đa thức $B = A[X] = A \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[X]$ được trang bị phép phân bậc là tích tenxơ của các phép phân bậc trên $A$ và $\mathbf{Z}[X]$, một phép phân bậc tương thích với cấu trúc vành trên $B$. Chứng minh rằng, nếu $d > 0$, $B_{(f)}$ đẳng cấu với $(A_n)^{\leq}$ và $(A^{(d)})_f$ là một vành phân bậc đẳng cấu với $A_{(f)} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[X, X^{-1}]$.

(c) Cho $g$ là một phần tử thuần nhất khác của $A$ có bậc $e$. Chứng minh rằng, nếu $d > 0$ và $e > 0$, $A_{(f,g)}$ đẳng cấu với $(A_{(f)})_{g^d/f^e}$.

(d) Giả sử $d > 0$ và $A_n = \{0\}$ với $n < 0$. Chứng minh rằng, nếu $A$ là Noether thì $A_{(f)}$ cũng là Noether (dùng § 2, no. 10, Hệ quả 4 của Định lý 2). \*