Exercice 1, § 1

Soit $A$ un anneau commutatif gradué de type $\mathbf{Z}$, $(A_n)$ sa graduation ; on pose $A^{\geq} = \bigoplus_{n \geq 0} A_n$, $A^{\leq} = \bigoplus_{n \leq 0} A_n$; ce sont des sous-anneaux gradués de $A$.

a) Pour tout élément homogène $f$ de $A$, de degré $d$, l’anneau de fractions $A_f$ (correspondant à la partie multiplicative formée des $f^n$, où $n \geq 0$) est canoniquement muni d’une structure d’anneau gradué ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 11); on désigne par $A_{(f)}$ le sous-anneau de $A_f$ formé des éléments de degré 0. Montrer que si $d > 0$, on a $(A^{\geq})_f = A_f$, $A_{(f)}$ est isomorphe à $A^{(d)}/(f - 1)A^{(d)}$ et $((A_f)^{\geq})_{f/1}$ est un anneau gradué isomorphe à $A_f$.

b) On munit l’anneau de polynômes $B = A[X] = A \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[X]$ de la graduation produit tensoriel de celles de $A$ et de $\mathbf{Z}[X]$, graduation compatible avec la structure d’anneau de $B$. Montrer que si $d > 0$, $B_{(f)}$ est isomorphe à $(A_f)^{\leq}$, et $(A^{(d)})_f$ est un anneau gradué isomorphe à $A_{(f)} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[X, X^{-1}]$.

c) Soit $g$ un second élément homogène de $A$, de degré $e$. Montrer que si $d > 0$ et $e > 0$, $A_{(f,g)}$ est isomorphe à $(A_{(f)})_{g^d/f^e}$.

d) On suppose $d > 0$ et $A_n = \{0\}$ pour $n < 0$. Montrer que, si $A$ est noethérien, il en est de même de $A_{(f)}$ (utiliser le § 2, no 10, cor. 4 du th. 2).