习题 2, § 2

令$K$为特征$\neq 2$的交换域和两个不定式中形式幂级数的$A$环$K[[X, Y]]$。 (a) 证明在 $A$ 中主理想 $p = (X^2 - Y^3)$ 是素数。 （如果两个形式幂级数的乘积$f(X, Y)g(X, Y)$能被$X^2 - Y^3$整除，则首先注在形式幂级数的环中$f(T^3, T^2) = 0$或$g(T^3, T^2) = 0$ $K[[T]]$；假设例$f(T^3, T^2) = 0$，首先证明$f(X, Y^2)$可被$X - Y^3$和$X + Y^3$整除，并通过考虑$f(-Y^3 + X, Y^2)$，最终证明$f(X, Y^2)$可被$X^2 - Y^6$整除。） (b) 令$m$为$A$的最大理想$AX + AY$。证明$p$相对于$A$上的$m$进数拓扑是闭的（其中$A$是Hausdorff且完备），但在环$\operatorname{gr}(A)$中，$\operatorname{gr}(p)$不是素理想（$p$被给予过滤）由$A$引起）。