Bài tập 2, § 2

Cho $K$ là một trường giao hoán có đặc số $\neq 2$ và $A$ là vành $K[[X, Y]]$ của các chuỗi lũy thừa hình thức theo hai bất định. (a) Chứng minh rằng trong $A$, iđêan chính $p = (X^2 - Y^3)$ là nguyên tố. (Nếu một tích $f(X, Y)g(X, Y)$ của hai chuỗi lũy thừa hình thức chia hết cho $X^2 - Y^3$, trước hết chú ý rằng $f(T^3, T^2) = 0$ hoặc $g(T^3, T^2) = 0$ trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức $K[[T]]$; giả sử chẳng hạn $f(T^3, T^2) = 0$, trước hết chứng minh rằng $f(X, Y^2)$ chia hết cho $X - Y^3$ và $X + Y^3$ và, bằng cách xét $f(-Y^3 + X, Y^2)$, cuối cùng chứng minh rằng $f(X, Y^2)$ chia hết cho $X^2 - Y^6$.) (b) Cho $m$ là iđêan cực đại $AX + AY$ của $A$. Chứng minh rằng $p$ là đóng đối với tôpô $m$-adic trên $A$ (nhờ đó $A$ là Hausdorff và đầy đủ) nhưng trong vành $\operatorname{gr}(A)$, $\operatorname{gr}(p)$ không phải là một iđêan nguyên tố (với $p$ được trang bị bộ lọc cảm sinh bởi bộ lọc trên $A$).