Exercice 2, § 2

Soient $K$ un corps commutatif de caractéristique $\neq 2$, $A$ l’anneau $K[[X, Y]]$ des séries formelles à deux indéterminées.

a) Montrer que dans $A$ l’idéal principal $p = (X^2 - Y^3)$ est premier. (Si un produit $f(X, Y)g(X, Y)$ de deux séries formelles est divisible par $X^2 - Y^3$, remarquer d’abord que l’on a $f(T^3, T^2) = 0$ ou $g(T^3, T^2) = 0$ dans l’anneau de séries formelles $K[[T]]$; supposant par exemple $f(T^3, T^2) = 0$, montrer d’abord que $f(X, Y^2)$ est divisible par $X - Y^3$ et par $X + Y^3$, et en considérant $f(-Y^3 + X, Y^2)$, prouver finalement que $f(X, Y^2)$ est divisible par $X^2 - Y^6$.)

b) Soit $m$ l’idéal maximal $AX + AY$ de $A$. Montrer que $p$ est fermé pour la topologie $m$-adique sur $A$ (pour laquelle $A$ est séparé et complet), mais que dans l’anneau $\operatorname{gr}(A)$, $\operatorname{gr}(p)$ n’est pas un idéal premier ($p$ étant muni de la filtration induite par celle de $A$).