习题 27, § 2

(a) 令 A 为交换环，且具有线性拓扑。对于 A 的每个乘法子集 S，令 $A\{S^{-1}\}$ 表示环 $S^{-1}A$ 与拓扑的豪斯多夫完成，其中 0 的邻域的基本系统由理想 $S^{-1}U_\lambda$ 组成，其中 $(U_\lambda)$ 是基本A 的理想由……组成中0 的邻域系统。证明$A\{S^{-1}\}$ 与环 $S_\lambda^{-1}(A/U_\lambda)$ 的逆极限典型同构，其中$S_\lambda$ 是$A/U_\lambda$ 中S 的典范像。如果$\hat{A}$是A的豪斯多夫完成，$A\{S^{-1}\}$与$\hat{A}\{S'-1\}$自然同构，其中$S'$是$\hat{A}$中S的典范像。

(b) 为了使 $A\{S^{-1}\}$ 减少到 0，在 A 中，0 属于满足 S 的闭包是充分必要的。 推导出例，其中 A 是 Hausdorff 且完备，但 $S^{-1}A$ 则不是，而 (a) 中定义的拓扑则不是这样。

(c) 对于 A 的每个连续同态 $u$ 到完整的 Hausdorff 线性拓扑环 B，使得 $u(S)$ 由 B 的可逆元组成，证明 $u = u' \circ j$，其中 $j : A \to A\{S^{-1}\}$ 是典范映射，$u'$ 是连续的；而且$u'$是唯一确定的。

(d) 令$S_1, S_2$为A的两个乘法子集，并令$S'_2$为$A\{S^{-1}\}$中$S_2$的典范像；将$A\{(S_1S_2)^{-1}\}$的定义典范同构转移到$A\{S_1^{-1}\}\{{S'_2}^{-1}\}$。

(e) 令$a$为A的开理想，并令$a\{S^{-1}\}$为$S^{-1}a$相对于由$S^{-1}A$诱导的拓扑的Hausdorff完成；表明 $a\{S^{-1}\}$ 与开放理想 $A\{S^{-1}\}$ 被规范地等同，并且离散的环 $A\{S^{-1}\}/a\{S^{-1}\}$ 与 $S^{-1}(A/a)$ 同构。相反，如果 $a'$ 是 $A\{S^{-1}\}$ 的开理想，则 A 中的逆像 a 是开理想，使得 $a' = a\{S^{-1}\}$。特别地，映射$p \mapsto p\{S^{-1}\}$是A的开素理想的集合的递增双射不满足S到$A\{S^{-1}\}$的开素理想的集合。

(f) 设 $p$ 为 A 的开素理想，并设 $S = A - p$。证明$A\{S^{-1}\}$是局部环，其中剩余类域同构于$A/p$的分数的域。

(g) 对于每个元素$f \in A$，让$A_{,,n}$表示环$A\{S_f^{-1}\}$，其中$S_f$是f''（$n \geqslant 0$）的乘法集合。如果 $f$ 穿过 A 的乘法子集 S，则环的 $A_{,,n}$ 形式直接系统，其直极限表示为 $A_{\{S\}}$（没有任何拓扑）； 定义典范同态

如果$S = A - p$，其中$p$是A的开素理想，证明$A_{\{S\}}$是局部环，典范同态$A_{\{S\}} \to A\{S^{-1}\}$是局部的，并且$A_{,,n}$和$A\{S^{-1}\}$的剩余类域是规范同构的（cf.章II, § 3，习题16）。

(h) 假设 $A$ 上的拓扑是 $A$ 的某个理想$m$ 的$m$-adic 拓扑，$A$ 是 Hausdorff 且完备，$m/m^2$ 是有限生成的$(A/m)$-模。证明，如果$A' = A\{S^{-1}\}$上的$m' = m\{S^{-1}\}$、拓扑是$m'$-adic，拓扑、$m' = mA'$和$m'/{m'}^2$是有限生成的$(A'/m')$-模（no. 10的应用命题 14）。如果$A$是诺特，那么$A'$也是。